تحدب معیاری از انحنا یا درجه منحنی در رابطه‌ی بین قیمت اوراق قرضه و بازده آن است. تحدب یک ابزار مدیریت ریسک است که برای اندازه‌گیری و مدیریت ریسک پرتفوی استفاده می‌شود. همچنین تحدب نشان می‌دهد که چگونه دیرش اوراق قرضه با تغییر نرخ بهره تغییر می‌کند. همان‌طور که در شکل زیر مشاهده می‌کنید، اوراق قرضه‌ی A تحدب بالاتری نسبت به اوراق قرضه‌ی B دارد، که نشان می‌دهد اگر همه چیز برابر باشد، با افزایش یا کاهش نرخ بهره، اوراق قرضه A همیشه قیمت بالاتری نسبت به اوراق قرضه B خواهد داشت.
تحدب (convexity) در اوراق قرضه
برای کاهش خطا‌ی دیرش از تحدب استفاده می‌کنیم که مشتق دوم تغییرات قیمت نسبت به تغییرات نرخ بهره است. استفاده از تحدب، خطا را کاهش می‌دهد. اگر بخواهیم خطا را کاملاً پوشش دهیم، باید مشتقات مراتب دیگر را هم در نظر بگیریم. پس برای در نظر گرفتن تغییر غیرخطی قیمت نسبت به تغییرات نرخ بهره، از تحدب استفاده می‌شود.
فرمول تحدب (convexity) در اوراق قرضه
فرمول تحدب را در زیر مشاهده می‌کنید.
در رابطه فوق؛ C ارزش کوپن، r نرخ بهره،k دورهٔ سرمایه‌گذاری، B ارزش اسمی، T زمان تا سررسید و P قیمت اوراق است.
رابطه‌ی تحدب و دیرش
با افزایش دیرش، تحدب با نرخ تصاعدی افزایش می‌یابد. افزایش زمان تا سررسید باعث افزایش تحدب می‌شود. در صورت ثابت ماندن زمان تا سررسید، افزایش نرخ بهره باعث کاهش تحدب می‌شود. اوراق با سود صفر دارای حداقل تحدب می‌باشد. اگر معیار تحدب را در نظر بگیریم، درصد تغییرات قیمت با توجه به تغییرات نرخ بهره برابر خواهد بود با:
رابطه‌ی تحدب و دیرش
مثال تحدب در اوراق قرضه
ارزش اوراق قرضهٔ ۲۰ سالهٔ دولتی با ارزش اسمی ۱۰۰۰ دلار و با کوپن سالانهٔ ۱۰ درصدی با فرض نرخ بهرهٔ ۱۰ درصد برابر با ۱۰۰۰ دلار است. دیرش تعدیل‌شده در این قیمت را برابر ۸٫۵۱ درصد محاسبه کردیم و به ازای افزایش یا کاهش یک درصدی نرخ بهره، قیمت اوراق قرضه به صورت تقریبی ۸٫۵۱ درصد کاهش یا افزایش می‌یافت. حال با در نظر گرفتن اثر تحدب (که با استفاده از فرمول تحدب برابر با ۱۱۶٫۲۱ محاسبه می‌شود) درصد تغییرات قیمت به ازای یک درصد کاهش در نرخ بهره برابر است با:
مثال تحدب ۱
این بدین معناست که با یک درصد کاهش نرخ بهره، قیمت ۰۹/۹ درصد افزایش می‌یابد. همچنین درصد تغییرات قیمت به ازای یک درصد افزایش در نرخ بهره برابر است با:
مثال تحدب ۲
این بدین معناست که با افزایش یک درصد نرخ بهره، قیمت ۷٫۹۳ درصد کاهش می‌یابد. بنابراین، تأثیر نرخ بهره بر قیمت زمانی که این نرخ کاهش می‌یابد متفاوت از زمانی است که این نرخ افزایش می‌یابد. در واقع تحدب مانند بتا در سهام عامل اندازه‌گیری ریسک سیستماتیک (نسبت به بهره) در اوراق قرضه است.
تحدب مثبت و منفی به چه معناست؟
اگر دیرش اوراق قرضه با افزایش بازدهی افزایش یابد، گفته می‌شود که اوراق تحدب منفی دارد. به عبارت دیگر، با افزایش بازدهی، قیمت اوراق با نرخ بیشتری نسبت به زمانی که بازدهی کاهش یافته بود، کاهش می‌یابد. بنابراین، اگر یک اوراق تحدب منفی داشته باشد، دیرش آن با کاهش قیمت افزایش می‌یابد و بالعکس.
تحدب مثبت و منفی
اگر دیرش اوراق قرضه افزایش یابد و بازدهی آن کاهش یابد، می‌گوییم که اوراق تحدب مثبت دارد. به عبارت دیگر، با کاهش بازده، قیمت اوراق با نرخ یا دیرش بیشتری نسبت به افزایش بازدهی افزایش می‌یابد. تحدب مثبت منجر به افزایش بیشتر قیمت اوراق می‌شود. اگر اوراق قرضه تحدب مثبت داشته باشد، معمولاً با کاهش بازدهی در مقایسه با کاهش قیمت هنگام افزایش بازده، افزایش قیمت بیشتری را تجربه می‌کند.
